Milosav Vešović je rođen 23. juna 1972. godine u Beogradu, gde i živi sa porodicom, otac je troje dece. Stekavši osnovno i srednje obrazovanje, 1994. godine upisao se na Odeljenje klasičnih nauka Filozofskog fakulteta Univerziteta u Beogradu i diplomirao 2002. godine.
Na Filozofskom fakultetu u Beogradu odbranio je 2011. godine magistarski rad pod naslovom „Leksička porodica PISTIS, PISTOS i njen semantički razvoj od najranijih vremena do crkvenih otaca“, a 2017. godine i doktorski rad pod naslovom „Termini SOMA i SARKS u kontekstu formiranja novozavetne antropologije – istorijat, semantička i komparativna analiza“.
Od 2005. godine zaposlen je na Pravoslavnom bogoslovskom fakultetu Univerziteta u Beogradu, do 2012. godine kao asistent-pripravnik, od 2012. godine kao asistent, od 2018. godine u zvanju docenta i najzad od 2023. godine u zvanju vanrednog profesora na predmetu Grčki jezik biblijskog i patrističkog perioda. Profesor Vešović drži predavanja i vežbe na osnovnim studijama iz obaveznih predmeta Grčki jezik 1 i Grčki jezik 2, kao i iz izbornih predmeta Jevrejski jezik na osnovnim studijama i Latinski jezik na master studijama.
Profesor Vešović je višegodišnji sekretar Katedre za filologiju na Pravoslavnom bogoslovskom fakultetu u Beogradu, član je Saveta tog Fakulteta, takođe je kao njegov predstavnik član Veća grupacije društveno-humanističkih nauka i Veća instituta na Univerzitetu u Beogradu.
Učestvovao je na raznim projektima, kao i na brojnim domaćim i mećunarodnim naučnim skupovima. Autor je monografije, koautor više zbornika, samostalno i koautorski objavljuje naučne radove u domaćim i međunarodnim časopisima.