Милосав Вешовић је рођен 23. јуна 1972. године у Београду, где и живи са породицом, отац је троје деце. Стекавши основно и средње образовање, 1994. године уписао се на Одељење класичних наука Филозофског факултета Универзитета у Београду и дипломирао 2002. године.
На Филозофском факултету у Београду одбранио је 2011. године магистарски рад под насловом „Лексичка породица PISTIS, PISTOS и њен семантички развој од најранијих времена до црквених отаца“, а 2017. године и докторски рад под насловом „Термини SOMA и SARKS у контексту формирања новозаветне антропологије – историјат, семантичка и компаративна анализа“.
Од 2005. године запослен је на Православном богословском факултету Универзитета у Београду, до 2012. године као асистент-приправник, од 2012. године као асистент, од 2018. године у звању доцента и најзад од 2023. године у звању ванредног професора на предмету Грчки језик библијског и патристичког периода. Професор Вешовић држи предавања и вежбе на основним студијама из обавезних предмета Грчки језик 1 и Грчки језик 2, као и из изборних предмета Јеврејски језик на основним студијама и Латински језик на мастер студијама.
Професор Вешовић је вишегодишњи секретар Катедре за филологију на Православном богословском факултету у Београду, члан је Савета тог Факултета, такође је као његов представник члан Већа групације друштвено-хуманистичких наука и Већа института на Универзитету у Београду.
Учествовао је на разним пројектима, као и на бројним домаћим и мећународним научним скуповима. Аутор је монографије, коаутор више зборника, самостално и коауторски објављује научне радове у домаћим и међународним часописима.